Nach einem Studium der Germanistik, Soziologie und Politikwissenschaft in München sowie Hospitanzen an den Münchner Kammerspiele und der Schaubühne Berlin studierte Alexander Klessinger ab 2019 Regie an der Theaterakademie Hamburg.

Seine Arbeiten waren früh auf Festivals präsent, u. a. beim Stimme X Festival für zeitgenössisches Musiktheater sowie bei den Lessingtagen am Thalia Theater Hamburg.

Nach dem Studium folgten Inszenierungen u. a. am Jungen Schauspielhaus Hamburg (Ferdinand, der Stier) und am Theater an der Ruhr (Ödipus). Für das Thalia Theater entwickelte er die Soloperformance Palindrom im Rahmen der Kulturhauptstadt Europa 2024.

2025 feierte seine Stückentwicklung Das Handtuch werfen am Thalia Theater Premiere und stand auf der Shortlist des Prager Theaterfestivals deutscher Sprache. Es folgte Der Zauberer von Oz am Ernst Deutsch Theater in Hamburg.

In der Fachzeitschrift Theater heute wurde er in der Kategorie „Nachwuchsregie“ 2024/25 nominiert.

In der Spielzeit 26 | 27 inszeniert er 

• „Vor Sonnenaufgang“