Johan Heß studierte Germanistik, Theaterwissenschaft und Informatik. Er arbeitete von 1999 bis 2005 in der freien Szene in Leipzig und begründete dort die Theatergruppe theaterbaustelle, in der er als Regisseur und Autor tätig war. Sein Stück Rosa, wie ein bißchen rot wurde 2004 zum Stückemarkt der Berliner Festspiele eingeladen. Es folgte ein Engagement als Regieassistenz am Staatstheater Nürnberg. Dort erarbeitete er 2006 unter anderem eine eigene Produktion unter dem Titel Wir sind Weltmeister! (Ich wäre gern ein Fußballfan). Von 2007 bis 2010 war Johan Heß am Schauspielhaus Hamburg tätig, ebenfalls als Regieassistent. Neben dieser Arbeit inszenierte er dort 2009 unter anderem die Koproduktion Kommander Börte und das Geheimnis um die verlassene Mondstation mit der NDR-Bigband auf der großen Bühne und in Koproduktion mit den Ruhrfestspielen Recklinghausen eine Fassung von Kleists Käthchen von Heilbronn.
Weitere Engagements als Regisseur führen ihn an die Theater Rudolstadt und Senftenberg, an das Theater an der Rott sowie zu den Kreuzgangspielen Feuchtwangen. Außerdem unterrichtete er an der Freien Schauspielschule Hamburg. 2010 erhielt Johan Heß für sein Theaterstück Die Straße den Förderpreis für junge Dramatiker des Heidelberger Stückemarktes.
Mit dem Stück Zigeuner-Boxer stellte sich Johan Heß in der Spielzeit 2012/13 dem Lüneburger Publikum erstmals als Regisseur vor und inszenierte dann in der Spielzeit 2013/14 Schwarz wie Tinte, Dantons Tod in der Spielzeit 2015/16 und 2016/17 Der Kontrabass, Der Junge mit dem Koffer sowie in der Spielzeit 2018/19 das Stück Tschick.
In der Spielzeit 2020/21 inszeniert er