Alexander Eissele wurde in Göppingen geboren. Sein Klarinettenstudium erhielt er  bei Prof. D. Klöcker in Freiburg sowie bei Prof. Peter Löffler in Frankfurt am Main. Er war Mitglied des Gustav-Mahler Jugendorchesters (unter Claudio Abbado), der Jungen Deutschen Philharmonie sowie der Bayerischen Orchesterakademie (unter Dmitrij Kitajenko). Bevor er Mitglied der Lüneburger Symphoniker wurde, war Alexander Eissele als Aushilfe an den Opernhäusern Darmstadt und Köln engagiert.

Neben seiner Tätigkeit bei den Lüneburger Symphonikern ist Alexander Eissele seit 1998 ständige Aushilfe beim Mahler-Chamber-Orchestra (unter Daniel Harding und Claudio Abbado) und leitet seit 1992 die Lumberjack Bigband in Göppingn. Darüber hinaus ist er Dozent beim Landesjugendorchester Baden-Württemberg sowie Mitglied des Amadeus-Ensembles (Bläserquintett der Lüneburger Symphoniker) und des Trios Tarallucci dolci (Bläsertrio der Lüneburger Symphoniker).